7.1    Sucesiones y progresiones

Ejemplos:

Dada las sucesiones infinitas, averiguar las fórmulas del n-ésimo término:

1. Sucesión 3, 6, 9, 12……

Por la definición de sucesión se tiene que:

      Luego la fórmula para el n-ésimo término es  n x 3 = 3n

      a_n  = 3n

Ejemplo:

como en una sucesión  n  es un número entero positivo, la suma de los  n primeros términos de una sucesión se denota por  Sn.

Es decir sí    a_1, a_2, a₃,………………,a_n,…….,

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

S₃ = a₁ + a₂ + a₃

S_n = a₁ + a₂ + a₃ +…………+ a_n =

7.1.2.1  Propiedades de la sumatoria 

Sí  a_n  es la misma para todos los enteros positivos  n, a _n = c, donde c es un número real se tiene:

7.1.3   Sucesiones creciente y decreciente.

Para explicar la diferencia entre las dos sucesiones veamos los siguientes ejemplos.

Sean las sucesiones:

Observemos que en la primera sucesión a medida que aumenta el valor de  n, aumenta el correspondiente término de la sucesión, a diferencia de la segunda sucesión, que a medida que aumenta el valor de  n, disminuye el correspondiente término de la sucesión.

Al primer caso es lo que se llama una función creciente y al segundo caso función decreciente.

7.2   Progresiones                                                             

Una progresión es una sucesión de términos formados de acuerdo con una propiedad.

Las progresiones se clasifican en progresiones aritméticas y progresiones geométricas.

7.2.1   Progresión aritmética

Es una sucesión cuyos términos tienen de diferencia el mismo número real. Es decir que en cada término a excepción del primero, se obtiene al sumar al término anterior el mismo número real, que es una constante.

El signo de la progresión aritmética es ÷ y entre cada término y el siguiente se escribe  un punto.

Así  ÷ 1. 4. 7. 10……….. .es una progresión aritmética creciente cuya razón es  3 porque 1 + 3 = 4,      4 + 3 = 7,     7 + 3 = 10,  etc.

En toda progresión aritmética, la razón se halla restándole a un término cualquiera el término anterior.

7.2.2  Término n-ésimo de una progresión aritmética     

Si se tiene la progresión aritmética  ÷   a. b. c. d. e…………u,  en la que  u  es el término n-ésimo y cuya razón es  r, se puede decir que: 

Se sabe por definición que cada término es igual al primer término a de la progresión más tantas veces la razón como términos le preceden.

Ejemplos

1. Hallar el 14° término de la progresión ÷  4. 7. 10…..

Para esta progresión se tiene que.

a = 4         n = 14        r = 7 – 4 = 3  luego entonces:

u = a + (n – 1) r = 4 + (14 – 1) 3 = 4 + (13) 3 = 4 + 39 = 43

Ahora  a partir de la fórmula general     u = a + (n – 1) r  se pueden deducir las fórmulas para hallar el primer término, la razón  y el número de términos de una progresión aritmética.

Sea    u = a + (n – 1) r  despejando cada una de las variables que se necesitan:

que son las fórmulas para hallar el primer término, la razón  y el número de términos de una progresión aritmética.

Ejemplos:

1.  El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la razón 4. Hallar el primer término.

Se tiene que:      a = u - (n – 1) r

Donde   u = 20       n = 15     r = 4  luego entonces:

a = u - (n – 1) r = 20 – (15 – 1) 4 = 20 – (14) 4 = 20 – 56 = -36

En toda progresión aritmética los términos entre el primero y último se llaman medios aritméticos, y el proceso mediante el cual se hallan estos medios aritméticos se llama interpolación.

7.2.3   Suma de los términos de una progresión aritmética.

En toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos  es igual a la suma de los extremos.

Sea la progresión  ÷   a. b . c. …………r. s. u,  que consta de  n  términos.

Ahora si se designa por  S la suma de todos los términos de la progresión, se tiene que:       

S = a + b + c + …………r + s + u    y también:    S = u + s + r +………………..+ c + b + a  y sumando estas igualdades, tenemos:

2S = ( a + u) + (b + s) + (c + r) +……………………+ (r + c) + (s + b) + (u + a)

si estos binomios son iguales a (a + u) porque en toda progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos  es igual a la suma de los extremos. Y como hay tantos binomios como términos tiene la progresión, se tendrá entonces que:

Ejemplo:

Hallar la suma de los  8 primeros términos de  ÷ 15. 19. 23…………

a = 15     n = 8     u = ?

Entonces para poder aplicar la fórmula debemos hallar primero el valor de  u.

Como    u = a + (n – 1) r = 15 + (8 – 1)4 = 15 + 28 = 43

Luego se tendrá:

la suma de los 8 primeros  términos de la progresión  ÷ 15. 19. 23……es 232.

7.2.4   Interpolación

Es el proceso mediante el cual se hallan medios aritméticos.

Ejemplo:

Interpolar tres medios aritméticos entre 3  y  11.

Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es desarrollar una progresión aritmética donde los extremos de la progresión sean los números dados.

Entonces  Interpolar tres medios aritméticos entre 3  y  11  es hallar los tres términos que hay entre 3 y 11.

Para realizar este proceso  hallamos la razón y se la sumamos al primer término, y así sucesivamente hasta completar los términos pedidos.

La razón se halla mediante la fórmula teniendo en cuenta que  n es el

 número de términos de la progresión, es decir los  medios aritméticos que se van a interpolar más los dos extremos.

Ahora,si sumamos esta razón con cada término se obtiene el término siguiente:

3 + 2 = 5      segundo término.

5 + 2 = 7      tercer término.

7 + 2 = 9      cuarto término.

Interpolando estos medios en la progresión inicial  ÷ 3 ……………..11

Se tendrá ÷ 3. 5. 7. 9. 11

7.2.5  Progresiones geométricas

Es una sucesión en la que  cada término a excepción del primero, se obtiene multiplicando el término anterior por el mismo número real, que es una constante que corresponde a la razón.

Una progresión geométrica es creciente cuando el valor absoluto de la razón es mayor que uno y decreciente cuando el valor absoluto de la razón es menor que uno, es decir una fracción propia.

En toda progresión geométrica la razón se halla dividiendo un término cualquiera por el anterior.

7.2.5.1   n-ésimo término de una progresión geométrica

En una progresión geométrica cada término es igual al término anterior  multiplicado por la razón, entonces si tenemos una progresión geométrica:

a : b: c:………………..:u

En donde  u es el término n-ésimo y cuya razón es  r, se tiene que un término cualquiera es igual al primero  a, multiplicado por la razón elevada a una potencia igual al número de términos que la preceden. El anterior enunciado se resume en la fórmula:               u =a r ^n-1

Ejemplos:

Al igual que en las progresiones aritméticas para las geométricas también se deduce la fórmula de la suma de los términos de la progresión geométrica, que viene dada por        

Ejemplo:

7.2.5.2  Interpolación de medios geométricos.

Interpolar medios geométricos entre dos números dados es desarrollar una progresión geométrica donde los extremos de la progresión sean los números dados.

Entonces por ejemplo Interpolar  3  medios geométricos  entre 5  y  3125  es hallar los tres términos que hay entre 5 y 3125

Para realizar este proceso  hallamos la razón y multiplicamos el primer término, y así sucesivamente hasta completar los términos pedidos.