6.1    Ecuaciones binomias y trinomias

6.1.1  Ecuación binomia:   Es una ecuación compuesta por dos términos en donde uno de los cuales es independiente de la incógnita.

Genéricamente una  ecuación binomia se representa por la fórmula x^{n +/-} A = 0

6.1.2  Resolución de ecuaciones binomias.

El método más práctico de resolver ecuaciones binomias lo encontramos en la factorización o descomposición de factores.

Ejemplos:

Resolver las ecuaciones

Donde aplicando la ecuación general de segundo grado se halla el valor de xⁿ, y extrayendo la raíz enésima se encuentran los valores de x.

Las ecuaciones trinomias que presentan como primer término  x⁴ reciben el nombre de ecuaciones bicuadradas.

Veámoslo mediante algunos ejemplos:

Resolver las ecuaciones

6.2   Función cúbica

El volumen de un cubo de arista  x  está dado  por  x³, luego entonces:

f(x) = x³, y representando esta función en un plano cartesiano se tiene.

Para representar gráficamente la función   f(x) = x³  se le dan valores arbitrarios a  x  para encontrar los valores de f(x), entonces:

6.2.2   Problema de aplicación.

1. Hallar el lado de un cubo si su volumen es de 729 cm³

Se sabe que el volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada al cubo

Entonces:      

v = 729 cm³ = x³          despejamos el valor de  x

x³ = 729 cm³               elevando al cubo los dos términos de la igualdad

x = (729) ^1/3                 luego x = 9 cm

Luego el lado del cubo = 9 cm   

6.3.2   Función exponencial de base e.

Son las funciones que vienen dadas por la fórmula  y = e^x donde  e = 2,71828.. y que reciben el nombre de función exponencial natural.

6.3.2.1  Ejemplo de aplicación:

6.3.3   Función logarítmica

Recordemos que la potenciación y la logaritmación son operaciones inversas. En la potenciación, conocida la base y el exponente, se halla el valor de la potencia, en la logaritmación, conocida la base y la potencia se halla el exponente.

Sí 4² = 16  entonces  log₄ 16 = 2

En forma general  sí a^x = b  entonces  log_a b = x

La función f(x) = 2 ^x  permite intercambiar su dominio y rango sin que deje de ser función. Es decir invertir el orden de las parejas ordenadas, a estas funciones con estas características  se les llama funciones inversas y se denotan por f ^-1(x)  que se lee  x  a  la  menos uno de  x.

f^-1(x) = 2 ^y = y = log₂x  que se denomina función logarítmica de base  dos.

Tabla de datos

Gráficamente:

En la figura se observa que el dominio de la función es el conjunto de los R⁺,   y el rango el conjunto de los R.

Cuando la base es el número  e, la abreviatura de la función logarítmica de base  e  es ln y su expresión será:    f (x) = y = lnx.

6.3.4   Logaritmos comunes

Son los logaritmos decimales, que es el sistema empleado generalmente y que tienen por base el número 10.

La aplicación de los logaritmos es facilitar los cálculos numéricos en los que intervienen operaciones de multiplicación, división y potencias de números reales.

En forma general se utiliza como se ha visto el símbolo  log x, que representa en realidad   log₁₀ x  para todo  x >0.

La tecla denominada "log"  que aparece en la calculadora sirve para hallar con aproximación los logaritmos decimales o comunes.

Recordemos, nuevamente que la logaritmación es una operación inversa de la potenciación, así se tiene que:

De estas potencias se pueden deducir las siguientes propiedades para los logaritmos comunes o logaritmos de base 10.

También se puede concluir:

El logaritmo de todo número  diferente de una potencia de base 10, es una fracción propia o un número entero más una fracción propia.

Ejemplos:

Se sabe por las propiedades anteriores que   log 1 = 0  y  log 10 = 1, entonces los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo mayor que 0 y menor que 1; luego, su logaritmo será una fracción propia.

Así sucesivamente se tiene que log 100 = 2  y  log 1000 = 3, entonces los números comprendidos entre 100 y 1000 tendrán un logaritmo mayor que 2 y menor que 3; luego, su logaritmo será  2 más una fracción propia.

Por esto log 564 = 2 + 0,751279 = 2,751279.

También el logaritmo de un número comprendido entre 0,01 y 0,001 será mayor que  -3 y menor que  -2; luego, será  -3 más una fracción propia.

6.3.4.1   Característica y mantisa

Se ha visto que el logaritmo de todo número que no sea una potencia de base 10 esta conformado por una parte entera y una parte decimal. La parte entera recibe el nombre de característica, y la parte decimal, mantisa.

Ejemplo:

Log 25 = 1,397940  la característica es 1 y la mantisa 0,397940

La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número esta comprendido entre 1 y 10; positiva, sí el número es mayor que 10 o negativa si el número es menor que 1.

Las potencias de base 10 sólo poseen característica y su mantisa es cero.

6.3.5   Logaritmos naturales                                               

Se ha definido también la función exponencial natural  f(x) = e^x, donde la función logarítmica de base  e se llama función logarítmica natural.

Estas expresiones se simbolizan como  ln x = log_e x  para todo  x > 0.

Los logaritmos naturales cumplen las mismas propiedades de los logaritmos decimales o comunes, de esta manera se tiene que:

Ahora, teniendo en cuenta que f(x) = y = ln x, es lo mismo decir que  x = e^y, que se obtiene para x > 0, también se obtiene las siguientes propiedades

6.3.6   Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Una ecuación es exponencial o logarítmica cuando la incógnita está ubicada o expresada como exponente o logaritmo. En la solución de estas ecuaciones, las funciones logarítmicas y sus propiedades al igual que las de logaritmos naturales son de gran aplicación y ayuda.

6.3.6.1  Ecuaciones exponenciales

En forma general una ecuación exponencial se describe como:

 f = {(x, y) / y = a^x , x e R}

Que significa que para todo  número a,  real positivo diferente de 1, una función f es función exponencial de base a sí y solo sí el exponente de  a  pertenece a los números reales.

Ejemplos:

Resolver las ecuaciones:

6.3.6.2   Ecuaciones logarítmicas                                        

Como se dijo anteriormente, es la ecuación donde aparece el logaritmo de la incógnita.

Ejemplos:

Resolver las ecuaciones:

El valor de x = -5 no se toma porque –5 no esta definido en los números      reales Positivos. Luego para esta ecuación la solución será   x = 5