 |
|
|
|
|
||
 |
|||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
6.1 Fracciones algebraicas
6.1.1 Fracción algebraica: es la división indicada de dos expresiones algebraicas.
Ejemplos: 6.2 Máximo común divisor
El máximo común divisor (M.C.D) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de mayor grado y coeficiente numérico que está contenida en cada una de ellas de una forma exacta.
6.2.1 M.C.D de monomios: hallamos el M.C.D de las partes numéricas (coeficientes) y luego de éste escribimos las partes literales comunes con el menor exponente que haya en las expresiones dadas.
Ejemplos. Hallar el M.C.D de:
1. a2x, ax2 Las letras comunes son ax, con sus menores exponentes. El M.CD entre a2x y ax2 será ax.
2. 6a2b3, 15a3 b4 6 = 2 x 3 15 = 3 x 5
Parte numérica común: 3, con su menor exponente: 3 el máximo común divisor entre 6 y 15 = 3 Letras comunes ab, con su menor exponente a2b3 Luego el M.C.D de las expresiones 6a2b3 y 15a3 b4 será: 3 a2b3
3. 15a2b3c, 24ab2x, 36b4x2 15a2b3c = 3 x 5 x a2 x b3 x c 24ab2 x = 23 x 3 x a x b2 x x 36b4x2 = 22 x 32 x b4 x x2 Parte numérica común con su menor exponente: 3 Parte literal común con su menor exponente: b2 M.C.D de 15a2b3c, 24ab2 x y 36b4x2 = 3b2 6.2.2 M.C.D de polinomios: Para hallar el M.C.D de dos o más polinomios, primero se factorizan los polinomios si es posible, se descomponen en sus factores primos y el M.C.D será el producto de los factores primos comunes precedidos de su menor exponente.
Ejemplos.
1. Hallar el M.C.D de: 2a2 + 2ab, 4a2 – 4ab
Factorizando: 2a2 + 2ab = 2a (1 + b) = 2 x a x (1 + b)
4a2 – 4ab = 4a (a – b) = 22
x a x (a – b) Luego el M.C.D de 2a2 + 2ab y 4a2 – 4ab es: 2a.
2. Hallar el M.C.D de: 8x3 + y3, 4ax2 – ay2 Factorizando: 8x3 + y3 = (2x + y) [(2x)2 – (2x)(y) + (y)2] = (2x + y) (4x2 – 2xy + y2) 4ax2 – ay2 = a(4x2 – y2) = a (2x + y) (2x – y) Luego el M.C.D de 8x3 + y 3 y 4ax2 – ay2 es: (2x + y) |
|
|
6.3 Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor grado y coeficiente numérico que divide a cada una de ellas de una forma exacta.
6.3.1 m.c.m de monomios: Se halla el m.c.m de los coeficientes y posteriormente a éste escribimos todas las partes literales comunes y no comunes precedidas del mayor exponente que tengan las
expresiones dadas. Ejemplos.
1. Hallar el m.c.m de: x2y, xy2
Parte literal común y no común con sus mayores exponentes: x2y2.
Luego el m.c.m de x2y y xy2 será x2y2
2. Hallar el m.c.m de: 5x2, 10xy, 15 xy2 5x2 = 5 x2 10xy = 2 5 x y 15 xy2 = 3 5 x y2 Parte numérica común y no común con su mayor exponente: 2 x 3 x 5 = 30 Parte literal común y no común con su mayor exponente: x2y2. El m.c.m de 5x2, 10xy y 15 xy2 es: 30x2y2 6.3.2 m.c.m de polinomios: para hallar el m.c.m de dos o más polinomios, primero sé factorizan los polinomios si es posible, se descomponen en sus factores primos y el m.c.m será el producto de los factores primos comunes y no comunes precedidos de su mayor exponente.
Ejemplos.
1. Hallar el m.c.m de: 3x + 3, 6x – 6
Factorizando: 3x + 3 = 3 (x + 1)
6x – 6 = 6 (x - 1) = 2 x 3 x (x - 1) El m.c.m será: = 2 x 3 x (x + 1) x (x - 1)
= 6 (x + 1) (x - 1)
2. Hallar el m.c.m de: x2 + x – 2, x2 - 4x + 3, x2 - x – 6 Factorizando: x2 + x – 2 = (x + 2) (x – 1) x2 - 4x + 3 = (x - 3) (x – 1) x2 - x – 6 = (x - 3) (x + 2) El m.c.m será: (x – 1) (x + 2) (x – 3) |
|
|
6.4 Simplificación de fracciones algebraicas |
|
|
 |
|
|
Simplificar una fracción algebraica es reducirla a su más mínima expresión.
6.4.1 Cuando los términos de una fracción algebraica son monomios: se divide el numerador entre el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre sí. Esto para la parte numérica y para la parte literal que poseen exponentes, aplicamos las propiedades fundamentales de la potenciación: |
|
|
|
|
|
|
 |
|||||
Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones: |
|||||
 |
|||||
|
|
6.4.2 Cuando sus términos son polinomios: se factorizan las expresiones algebraicas dadas si es posible, se descomponen en sus factores primos y se eliminan los factores comunes entre el numerador y el denominador. Ejemplos. Simplificar las expresiones: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
 |
|||||||||
 |
|||||||||
6.5 Operaciones con fracciones algebraicas |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
6.5.1 Suma y resta
Para sumar o restar fracciones algebraicas se debe tener en cuenta:
1. Se simplifican si es posible las fracciones iniciales. 2. Si son de distinto denominador se halla el m.c.m. 3. Se realizan las operaciones indicadas. 4. Se suman o restan
los numeradores de las fracciones que resultan y partimos ésta suma o resta por el denominador común. 5. Se reducen los términos semejantes en el numerador.
6. Se simplifica la fracción resultante en caso de que sea posible.
Ejemplos. Sumar las siguientes expresiones: |
|
|
|
 |
||
 |
||
|
|
6.5.2 Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos o más fracciones:
1. Sé factorizan los términos de las fracciones que se van a multiplicar si es posible. 2. Se simplifican las fracciones eliminando los factores comunes en los numeradores y denominadores. 3. Se multiplican los numeradores y los denominadores simplificados entre sí. |
|
|
|
|
 |
|
|
6.5.3 División de fracciones
Para dividir dos o más fracciones se multiplican el dividendo por el invertido del divisor y se procede como en la multiplicación. Ejemplos.
Dividir las siguientes expresiones: |
|
|
|
|
|
 |
|
|
 |
|
|
6.5.4 Fracciones algebraicas complejas
Para resolver fracciones algebraicas complejas primero se efectúan las operaciones que estén indicadas en el numerador, luego las indicadas en el denominador y se dividen los resultados
entre sí. Ejemplos.x |
|
|
|
|
 |
|||
 |
|||
|
|
6.6 Ecuaciones racionales de primer grado
Todos los conceptos y procedimientos vistos en la solución de operaciones con fracciones algebraicas se pueden aplicar ahora en la solución de las ecuaciones fraccionarias.
6.6.1 Ecuación fraccionaria:
es aquella ecuación que tiene fraccionarios los coeficientes de sus términos. Ejemplos: |
|
|
|
||
|
||||
 |
||||
 |
||||
|
|
6.6.2 Ecuaciones literales: una ecuación es literal cuando uno o todos los coeficientes de las incógnitas o las cantidades conocidas en la ecuación están representados por letras. |
|
|
||
 |
 |
||
|
|
6.7 Problemas sobre ecuaciones
Ahora se verá la aplicación de los procedimientos anteriores en la solución de problemas. Para la solución de estos planteamientos lo importante es lograr
traducirlos a expresiones algebraicas. Algunos ejemplos de traducción de expresiones del español a expresiones algebraicas:
1. La suma de la tercera y cuarta parte de un numero es igual a 40.
Traducción algebraica: x =número
x/3 + x/4 = 40
2. La suma de dos números consecutivos más su diferencia es igual a 200. x = número
x + 1 = consecutivo [x + (x + 1)] + [x – (x + 1)] = 200 |
|
|
|
|
|
|
 |
|||||
 |
|||||
 |
|||||
|
|
3. Hallar tres números consecutivos tales que la suma de los 3/5 del número mayor con los 3/5 del número intermedio equivale al número menor disminuido en 10.
Entonces se tiene: x= número mayor
x+1 = número intermedio
x+2 = número mayor |
|
|
 |
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Expresan de una forma reducida y clara un enunciado general.
2. Son sencillas de expresar. 3. Hace fácil la resolución de los problemas.
Hay enunciados generales que se pueden expresar de una manera reducida mediante fórmulas. Ejemplos:
1. La suma de dos números multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. (a + b) (a – b) = a2 – b2 2. El cuadrado de la hipotenusa de un
triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras). h2 = c2 + c2 6.8.1 Despejar variables: Cada uno de los
términos que componen una fórmula se llaman variables (incógnitas) y se pueden expresar unos en función de otros. Ejemplo: |
|||||||||||||||
 |
|||||||||||||||
 |
|
||||||||||||||
Se ha despado valor de e expresando que el número dos que está multiplicando un lado de la ecuación, pasada al otro lado a dividir, al igual que la variable a, deljando libre ña incógnita quese quiere despejar |
|||||||||||||||
6.9 Inecuación
Inecuación es una desigualdad en la que se presentan una o más incógnitas y sólo son demostrables para valores específicos de las incógnitas.
6.9.1 Propiedades de las Inecuaciones |
|||||||||||||||
 |
|||||||||||||||
6.9.2 Solución de Inecuaciones Resolver una Inecuación es hallar y graficar el conjunto solución de la Inecuación. |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
 |
|||||||||||||||
 |
|||||||||||||||
Las soluciones de las Inecuaciones generan una serie de intervalos que se pueden clasificar y definir de la siguiente manera: |
|||||||||||||||
 |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
