PITÁGORAS

s. VI a. C.

Filósofo y matemático griego quien posiblemente adquiere sus primeros conocimientos de Tales de Mileto. Hijo de un comerciante de nombre Mnesarco, nace en la isla da Samos y muere en Tarento. Según la leyenda, viaja por Fenicia, Arabia, Palestina y Egipto. Parece que durante un periodo de su vida permanece en Babilonia, deportado y esclavizado, hasta que logra escapar a Crotona. Sin embargo, su permanencia en Babilonia le es útil para conocer la cultura caldea.

 A Pitagoras se debe el famoso teorema cuyo enunciado dice que en un triángulo rectángulo " la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa". De otra parte, enuncia una teoría musical fundada en las matemáticas, que describe la relación de las proporciones armónicas con la escala. Este filósofo Griego, considerado uno de los siete sabios, es el precursor de las matemáticas.

MEDICIÓN                                                                   

En esta unidad se profundizará en los conceptos de la medición y la unificación bajo el sistema métrico decimal.

Medir: es comparar cualquier objeto respecto de una unidad como base o patrón.

Sistema métrico decimal: es el grupo de medidas que aumenta de 10 en 10.

UNIDADES DE LONGITUD

Recordando, la unidad fundamental de las medidas de longitud es el metro (m).

Múltiplos y submúltiplos del metro: los múltiplos de metro  los conformamos anteponiendo a la palabra metro, las palabras  Deca, Hecto, Kilo, y Miría, que significan respectivamente: diez, cien, mil y diez mil.

De la misma manera los  submúltiplos del metro los formamos anteponiendo a la  palabra metro las palabras deci, centi y mili, que significan respectivamente: décima, centésima y milésima parte.

Es preciso anotar que los múltiplos y submúltiplos del metro aumentan o disminuyen de 10 en 10. Resumiendo de una forma gráfica tenemos:

Perímetro: Es el proceso de medir un contorno. Si nos referimos a una figura geométrica el perímetro resulta de sumar las medidas de sus lados.

Ejemplos:  Calcular el perímetro de las siguientes figuras:

• Figura 1:  perímetro = 6 + 8 + 6 + 8 = 28 cm.
• Figura 2:  perímetro = 6 + 6 + 6 = 18 cm.
• Figura 3:  perímetro = 2 + 3 + 2 + 2 + 3 + 2 = 14 cm.

Circunferencia: La longitud de la circunferencia viene dada por   , donde

El valor constante    resulta de medir el contorno de una circunferencia, y su valor dividirlo entre el valor del diámetro de dicha circunferencia.

Gráficamente:

A  las anteriores circunferencias le hemos calculado los siguientes datos:

De la anterior tabla observamos que el resultado de dividir el perímetro entre el diámetro de cada una de las circunferencias siempre se aproxima al valor de la constante . Luego,

El diámetro de una circunferencia es igual a dos veces el radio:  

Tenemos:

Ejemplo: Hallar la longitud de una circunferencia de 10 cm de diámetro.

NÚMEROS COMPUESTOS                                   

Son aquellas expresiones que vienen dadas en diferente orden, pero que son de la misma especie, es decir que pertenecen  a un mismo sistema de medida.

Por ejemplo:  7 Km, 4 Hm, 5 m,  las tres  unidades nos pueden significar una sola cantidad que es posible convertirla a una sola de las tres dadas.

CONVERSIÓN DE UN COMPUESTO A UNA UNIDAD DADA

Para realizar dicha conversión, reducimos cada una de las especies a la especie pedida y sumamos los resultados.

Ejemplo:  Convertir   7 Km, 4 Hm, 3 m  a  metros.

Convertimos cada una de las especies a metros:

7 Km =  7 x 1 000  =  7 000 m

4 Hm =  4 x100  =  400 m

3 m  =  3 m

Sumando las cantidades:  7 000 m +  400 m + 3 m  =  7 403 m.

Diremos que   7 Km, 4 Hm, 3 m,  equivalen a 7 403 m.

PROCESO INVERSO

El proceso inverso consiste en convertir una especie dada en varias especies del mismo orden. Para esta conversión, tomamos la última cifra entera como especie dada  y hacia su izquierda cada cifra representa una especie inferior.

Ejemplo:  Convertir  348,64 Hm, a las otras especies del mismo orden.

La última cifra entera para este caso es el número 8, y expresará Hectómetros. Hacia su izquierda encontramos el número 4 que representa  a los Kilómetros, así el número 3 representa al Miriámetro. A la derecha del número base 8 e inmediatamente después de la coma se encuentra el número 6 que representa a los Decámetros, luego el número 4 que representa a los metros. Así se forma:

         348,64 Hm =  3 Mm,  4 Km,  8 Hm,  6 Dm,  4 m.

UNIDADES DE SUPERFICIE                                    

La unidad básica de las medidas de superficie es el  m². Metro cuadrado, que representa un cuadrado que tiene de lado un metro lineal. A diferencia de las de longitud éstas medidas aumentan o disminuyen de 100 en 100.

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL M ²

Los múltiplos de metro cuadrado  los conformamos anteponiendo a la palabra metro, las palabras Deca, Hecto, Kilo, y Miría, que significan respectivamente: cien, diez mil, un millón y cien millones respectivamente.

De la misma manera los submúltiplos del metro los formamos anteponiendo a la  palabra metro las palabras deci, centi y mili.

Es preciso anotar que los múltiplos y submúltiplos del metro² aumentan o disminuyen de 100 en 100. Resumiendo de una forma gráfica tenemos:

SUPERFICIE

Es una parte de un plano limitada por dos dimensiones.

• La superficie de un campo de fútbol.

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE SUPERFICIE

Recordemos que las unidades de superficie aumentan o disminuyen de 100 en 100.

Para convertir una unidad de superficie superior a otra inferior,  multiplicamos el número dado por la unidad seguida de tantos ceros como  lugares separen a la medida dada de aquella a la cual vamos a convertir. Si es de una unidad de superficie inferior a una mayor se divide el número siguiendo el mismo procedimiento del caso anterior.

Ejemplo:   convertir:

          0, 423  Dm ²   a   cm ².

• 0,423  Dm² a cm²: en este caso vamos a convertir una unidad de longitud superior a una inferior, luego la unidad  0,423  Dm² la multiplicamos por   1 000 000, porque de Dm² a cm²  hay tres unidades de medida, y recordemos que las unidades aumentan o disminuyen de 100 en 100, luego:

           0,423 x 1 000 000 = 423 000 y decimos que  0,423  Dm² = 423 000  cm².

Otros ejemplos:   Realizar las siguientes conversiones:

• 6  m²  a  dm²………….. 6 m²    100  =   600 dm²
• 28 Dm²   a  cm² …… …28  Dm²    1 000 000  =  28 000 000 cm²
• 17,005  Km²   a  dm² …17,005 Km²    100 000 000 =  1 700 500 000 dm²
• 6343 mm²  a  Hm²……  6343 mm² ÷ 10 000 000 000 = 0,0000006343  Hm²

Recordemos que para dividir una cantidad  entre la unidad seguida de ceros, escribimos la misma cantidad y corremos la coma hacia la izquierda tantos ceros como tenga la unidad.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS                                   

Área: Es  la medida de una superficie. El área siempre es una cantidad positiva, y depende de la unidad de medida que se haya elegido.

• Área de rectángulo: ésta figura geométrica tiene sus lados opuestos iguales dos a dos y todos sus ángulos interiores son rectos, es decir cada uno mide 90°.

La figura representa un rectángulo que se ha dividido en cuadros iguales. Cada cuadro tiene un metro de lado y significa una unidad cuadrada. Si se suma la totalidad de cuadros que conforman el rectángulo da como resultado 28 unidades cuadradas.

El rectángulo está formado por 8 columnas y 4 filas, lo que significa tener 8  veces 4, que expresado como multiplicación:   8 x 4 = 32.

Si al valor de 8 le asignamos como nombre base, y al valor de 4 altura, se puede hallar el área del rectángulo multiplicando la base por la altura, luego:

• Área del triángulo: por definición un triángulo es una porción de un plano limitado por tres segmentos de recta. Éstos segmentos de recta reciben el nombre de lados. La base del triángulo puede ser cualquiera de los lados, ya que la figura puede descansar sobre cualquiera de ellos, y a altura que corresponde a cualquier lado del triángulo es la perpendicular trazada desde el vértice opuesto.

Del rectángulo conocemos la base y la altura. Sí dividimos el rectángulo en dos partes iguales por medio de una diagonal, la división genera dos triángulos rectángulos (ángulo de 90°), luego el área de cada triángulo será el área del rectángulo dividida en dos partes:

• Área del cuadrado: el cuadrado tiene sus cuatro lados iguales y perpendiculares entre sí. La base como la altura del cuadrado puede ser cualquiera de sus lados, y serán iguales.

          El área de cuadrado en función de los lados:

El área del cuadrado en función de su diagonal:    A = D²/2

• Área del trapecio: el trapecio es un cuadrilátero que tiene solamente dos de sus lados paralelos, los otros dos lados no. Sus bases son los lados paralelos:

Sí trazamos una diagonal, como se muestra en la figura, el trapecio queda dividido en dos triángulos, y como el área del triángulo es  bxh/2  al sumar las dos áreas de los dos triángulos resulta el área del trapecio:

Área del triángulo  1  = b x h /2

Área del triángulo  2 = B x h /2

Sumando las dos áreas resulta el área del trapecio:

Área del trapecio…………………..…. =  b x h /2  +  B x h /2

Realizando la suma…………………..  =  (b x h + B x h)/2

Sacando factor común  h ……………  =  h (b + B) /2

Ordenando……………………………. =  [(B + b) /2] x h

Área del trapecio = [(B + b) /2] x h

Es decir que el área del trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura.

Otra forma de hallar el área del trapecio es en función de su base media:

Área del trapecio = h x base media.

• Área del rombo: el área de un rombo la podemos determinar a través de las áreas de los triángulos formados por sus diagonales, o directamente por el semiproducto de sus diagonales.

Extraemos uno de los triángulos:

El área del rombo es cuatro veces el área del triángulo seleccionado, luego:

• Área del polígono regular: polígono es la  porción de un plano determinado por segmentos de rectas iguales.

El área del polígono es igual a la suma de las áreas de los triángulos formados en el polígono, y  su número depende de la cantidad de lados del polígono.

Al trazar las diagonales posibles en el hexágono(6 lados) se forman 6 triángulos equiláteros (3 lados iguales) con igual alturas (h) que para el caso de un polígono recibe el nombre de apotema (a). El área total del polígono será igual a la suma de las áreas de los 6 triángulos:

• Área del circulo: Él circulo es la superficie limitada por la circunferencia. Si desde el centro del círculo trazamos  n  cantidad de radios, se forman  n  cantidad de sectores circulares con forma triangular donde la altura corresponde al radio y la base es el arco.

El área  del círculo será  la suma de todas las áreas de los sectores circulares que se formen (n). Luego:

El área del círculo es igual a la constante por el cuadrado de su radio.

Ejemplos de aplicación:

• Hallar el área de la parte sombreada  sabiendo que AB = 30 cm

Área  del cuadrado = D²/2  = (30)²/2  = 900/2 = 450 cm²

El área de la parte sombreada será igual al área del circulo menos el área del cuadrado:

Área sombreada = 706,86 cm² – 450 cm² = 256,86 cm²

• Hallar el área de la parte sombreada  sabiendo que  CO = 20 mm  CD = 25 mm y AB = 30 mm.

Área  sombreada = área del círculo – área del triángulo

Área sombreada  =  1256,64 mm² – 375 mm²  =  881,64 mm ²                                                                                                 

• Hallar la parte sombreada  sabiendo que AC = 40 mm  y  OB = 35 mm.

Área  del polígono = 6  700 mm²  = 4200 mm²

Área de circulo: = 3,1416    (35 mm)² = 3,1416  1225 mm² = 3848,46 mm²

Área de la parte sombreada = área del polígono – área del circulo

Área de la parte sombreada =  4200 mm² – 3848,46 mm² = 351,54 mm²

En todo triángulo rectángulo ( triángulo con un ángulo de 90°) la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Sea el triángulo rectángulo de la figura: 

Se puede afirmar que el área del cuadrado que está sobre la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las áreas  que están sobre  los catetos.

Como     h² = a² + b² ,  entonces  25 u² = 16 u ² + 9 u²  entonces  25 u² = 25 u²

De ésta manera es posible establecer la relación que hay entre los cuadrados de los lados del triángulo rectángulo.

Aplicación: hallar el área de un cuadrado que está sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 30 cm  y  12 cm respectivamente

Como  h ² = a² + b²

           h² = (30 cm)² + (12 cm)²

           h² = 900 cm² + 144 cm²

           h² = 1044 cm ²

La unidad básica de las medidas de volúmen es el  m³. Metro cúbico, que representa un cubo que tiene de lado (arista) un metro lineal. A diferencia de las de superficie estas medidas aumentan o disminuyen de 1 000 en 1 000.

VOLUMEN: es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo geométrico y que se puede medir bajo su unidad básica que es el m³.

                   MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL M ³

Los múltiplos de metro cúbico  los conformamos anteponiendo a la palabra metro, las palabras  Deca, Hecto, Kilo, y Miría , que significan respectivamente:

Mil, un millón, 1  10⁹, 1  10¹² respectivamente.

CONVERSIÓN DE UNIDADES DE VOLÚMEN

Recordemos que las unidades de volúmen aumentan o disminuyen de 1 000 en 1 000.

Para convertir una unidad de volúmen superior a otra inferior  multiplicamos el número dado por la unidad seguida de tantos ceros como  lugares separen a la medida dada de aquella a la cual vamos a convertir. Si es de una unidad de volúmen inferior a una mayor se divide el número siguiendo el mismo procedimiento del caso anterior.

Ejemplo:   Convertir

                    387,42  m ³   a   cm ³.

• 387,42  m ³   a   cm ³: en éste caso se va a convertir una unidad de longitud superior a una inferior, luego la unidad 387,42 m ³ la multiplicamos por  1 000 000, porque de  m³  a  cm³  hay dos unidades  de medida, y recordemos que las unidades aumentan ó disminuyen de 1000 en 1000 luego:

      387,42 x 1 000 000= 387 420 000,decimos que 387,42 m³= 387 420 000 cm ³.

Ejemplos:  Realizar las siguientes conversiones:

• 6  m³  a  dm³…………………    6 m³    1 000  =   6 000 dm³
• 2,345679  Hm³ a  m³………       2,345679  Hm³  1 000 000 = 2 345 679  m³