PLANO CARTESIANO

Es el espacio constituido por  todos los puntos limitados por dos ejes de coordenadas (x, y).

Para localizar un punto en el plano cartesiano, debemos hacerlo nombrando las coordenadas con respecto a los ejes  x, y. Nombraremos siempre la coordenada sobre el eje x (primera componente) y luego la coordenada sobre el eje y (segunda componente). Así  el punto  A  de la figura está localizado en las coordenadas (3, 4) o que significa que le puede ubicar  3 cm  a la derecha del origen sobre el eje  x, y 4 cm hacia arriba paralelo al eje  y. Vale aclarar que el punto localizado en las coordenadas

Se limita a conjuntos diferentes de vacío. Si tenemos dos conjuntos  A  y  B  el producto cartesiano lo definimos como  A   B  y es el conjunto de parejas ordenadas de realizar el producto de los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto  B.

Genéricamente:   

Ejemplo: Sean los conjuntos.

A = {a, b}

B = {c, d, e}

El producto cartesiano será:

A   B  = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)}

Representando este producto en el plano cartesiano tenemos:

Otra forma de representar el producto cartesiano es mediante un diagrama sagital:

También lo podemos representar mediante un diagrama de Árbol.

Dados dos conjuntos C y D, definimos una relación entre estos dos conjuntos a un subconjunto del producto cartesiano entre  C  y  D , o sea un subconjunto de C x D.

Ejemplo:

Sean  los conjuntos:

C = {a, b, c},

D = {1, 2, 3}.

Una relación  R  entre  C  y  D  sería:

C    D  = {(a, 1), (a, 3), (b, 3)}

La anterior relación también se puede representar mediante un diagrama sagital:

Entre los pares ordenados de una relación, se pueden dar varios tipos de correspondencia. Por ejemplo:

ser menor que (<),    ser igual a (=),    ser mayor que (>),   etc.

Tomemos de referencia los conjuntos anteriores:

C = {a, b, c}

D = { 1, 2, 3}

Podemos decir que en la relación  R  del conjunto  C  en  D, el  conjunto de elementos llamamos dominio de la relación, y al conjunto de elementos del conjunto D que están relacionados con algún elemento de  C, lo llamamos  recorrido o rango de la relación.

Es decir:

Dominio de la relación: {a, b};

recorrido o rango  de la relación: {1, 3}.

No escribimos los elementos c  y  2, porque no están relacionados con ningún elemento.

Dados dos conjuntos  A y B, se puede definir función  a la correspondencia entre los dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del conjunto A se le asigna un único elemento del conjunto B y la denotamos como  A  B.

Ejemplo:

Sean los conjuntos   A = {2, 4, 6, 8}    y    B = {1, 2, 3, 4, 5}.

En los conjuntos  A en B definamos la relación "ser el doble de":

R = {(2,1), (4,2), (6, 3), (8, 4)}, o sea las primeras componentes son el doble de las segundas.

Representando el ejemplo mediante un diagrama sagital tenemos:

Cada elemento del conjunto  A  está relacionado con un único elemento del conjunto  B . Luego el dominio de la función es el conjunto de partida  A  y el condominio o rango de la función es el conjunto de elementos de B, que están relacionados con los elementos del conjunto  A.

Es decir:

El elemento  5  no lo escribimos porque no está relacionado con ningún elemento.

INYECTIVA (uno a uno): es una función de un conjunto  A  en  B  donde a cada elemento del conjunto  B   le corresponde o está relacionado con un único elemento del conjunto  A (dominio).

Ejemplo:

Sean los conjuntos   A = {1, 2, 3, 4}   y   B = {2, 4, 6, 8, 10}.

Definidos por la relación "ser la mitad de":

Notemos que en una  función pueden haber elementos sin relacionar en el rango, lo que no puede suceder en el dominio de la función.

SOBREYECTIVA: en toda función de A en B si el conjunto de llegada es igual al rango de ella, podemos afirmar  que la función es sobreyectiva. En forma general diremos:

Ejemplo: sean los conjuntos

Q = {-4, -2, 2, 4}   y   R = {1, 2}.  Gráficamente:

Esta función no es inyectiva porque existen parejas ordenadas con la misma segunda componente. Veamos:

Solución = {(-4,2), (4,2), (-2, 1), (2 , 1)}.

Como el conjunto de llegada es igual al rango de la función, es decir que el conjunto   R = {1, 2} es a la vez conjunto de llegada y rango, la función es sobreyectiva.

Las proposiciones abiertas que están relacionadas o en la que aparece un signo igual y una variable reciben el nombre de ecuaciones. Al desarrollar la ecuación y obtener un resultado hallamos una proposición cerrada verdadera.

Ejemplo:

son desigualdades en las que aparecen los signos, o conectores  y en las que encontramos por lo menos una variable.

Ejemplo: resolver  2 x – 3 > x + 6

Inecuación dada .................................... 2 x – 3 > x + 6

Por transposición de términos ............... 2 x – x > 6 + 3

Resolviendo ............................................. x  >  9.

Diremos que  9  es el límite inferior de x, es decir que la desigualdad dada sólo se verifica para los valores de x mayores que 9.

Ejemplo:

Resolver  3 x – 14 < 7 x - 2.

Inecuación dada ................................................ 3 x – 14 < 7x - 2

Por transposición de términos ........................ 3 x – 7x <  -2 + 14

Resolviendo ................................................... – 4 x  <  12

Multiplicando por  -1 ambos términos ..........  4 x > - 12  (cambia de signo)

Despejando la incógnita .............................. ...  x  >  - 12/4

Resultado ...........................................................  x  >  - 3.