Abel introdujo dos nociones nuevas: Cuerpos y polinomios irreducibles en un cuerpo dado. Un cuerpo de número significa, según Abel, una colección de números tales que la suma, la diferencia, el producto y el cociente de toda pareja cualquiera de la colección son cerradas en ella (son también números de la misma colección). Así, los números racionales, reales y complejos forman, respectivamente, un cuerpo.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si al realizar los productos cruzados entre sus términos nos da como resultado una igualdad.

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

La fracción 3/5 equivale a 12/20

Como hemos podido darnos cuenta, al proceso de multiplicar o dividir los términos de una fracción por un mismo número, lo podemos llamar amplificar o simplificar una fracción, respectivamente.

Es una fracción que está expresada de la forma más simple, o sea que no se puede simplificar.

Ejemplo:    ½,  ¼

Una   fracción irreductible y todas sus fracciones equivalentes reciben el nombre de número racional y se representa con la letra  Q.

Los números que se pueden representar de la forma  a/b, son los que llamamos números racionales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q

Representemos en la recta numérica  números racionales de denominador  4.

Ejemplo:  ¼,  ¾,  -5/4,  -11/4

ORDEN EN LOS RACIONALES

Para comparar dos o más números racionales, los llevamos a la recta numérica y si:

Ejemplos: comparar los siguientes números racionales  4/8  y  7/5

Tenemos que:

a = 4,  b = 8,  c = 7,  d = 5

a x d  =  4 x 5 = 20              b x c  =  8 x 7 = 56

como  a x d  <  b x c   entonces  4/8 < 7/5.

FRACCIONES DECIMALES

Recordemos que un fraccionario es otra forma de representar una división.

Tener    7/8  es lo mismo que escribir  7  8, y si desarrollamos la división tenemos:

El anterior procedimiento lo podemos resumir de la siguiente manera:

Para convertir una fracción común a decimal dividimos el numerador entre el denominador, aproximando la división hasta lograr un resultado exacto o hasta que se repita indefinidamente una cifra o un grupo de cifras.

CLASES DE FRACCIONES DECIMALES

Las podemos resumir en el siguiente cuadro conceptual:

Es la que posee un número determinado de cifras decimales.

FRACCIÓN DECIMAL INEXACTA

Es en la que hay una cifra o grupo de cifras que se repiten indefinidamente siguiendo un orden específico.

FRACCIÓN DECIMAL PERIÓDICA MIXTA

Es la fracción en la cual el período comienza en una parte diferente a las décimas.

Ejemplo:     0,0 8 5 5 5..                   0, 3 4 5 4 5…….

CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES A FRACCIONES COMÚNES

Generatriz: es la fracción enunciada en su más mínima  expresión (reducción) equivalente a la fracción decimal.

Generatriz de una fracción decimal exacta: viene dada por la fórmula:

Para hallar la generatriz de una fracción decimal colocamos por numerador la fracción decimal sin la coma, y por denominador la unidad seguida del mismo número de ceros como cifras decimales haya.

Ejemplo: Convertir  0,568,   0, 0024  y  5, 625   en fracciones decimales  exactas.

Hemos visto en el ejemplo que 5,625  convertido a fracción decimal exacta, es igual a 45/8, el proceso inverso sería.

escribimos por numerador un período de la fracción decimal y por denominador la misma cantidad de nueves, como cifras tenga el período.

Ejemplo:   Convertir  0,2727,  0,00540054  y  6,108108  en fracciones  decimales.

Generatriz de una fracción decimal periódica mixta: escribimos en el numerador la parte no periódica seguida de un período, menos la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga la parte periódica y tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

Ejemplos: Convertir  0,56777  y   0,0045454   a fracciones decimales.

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS RACIONALES

Suma y resta:  para desarrollar sumas y restas combinadas con números racionales, extraemos el m.c.m de los denominadores, luego dividimos el m.c.m entre cada uno de los denominadores y lo multiplicamos por cada uno de los numeradores separando los resultados por el signo correspondiente. Si hay operaciones indicadas entre signos de agrupación (paréntesis, llaves, etc.) desarrollamos primero estas operaciones.

Ejemplos: 

Simplificar:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN  CON NÚMEROS RACIONALES

Para multiplicar números racionales, multiplicamos tanto numeradores como     denominadores entre sí. Para los fraccionarios expresados como divisiones, multiplicamos el racional dividiendo por el inverso del racional divisor. Una vez realizado este paso procedemos como en el caso anterior, luego simplificamos los fraccionarios si es posible y al resultado le hallamos los enteros si los hay.

Ejemplos:

Simpificar:

FRACCIONES COMPLEJAS                                   

Son las fracciones en las que en el numerador ó denominador hay operaciones indicadas. veamos algunos ejemplos:

También debemos considerar:

• Todo racional con signo negativo elevado a un exponente par, nos da como resultado un racional positivo.

• Todo racional con signo negativo elevado a un exponente impar, nos da como resultado un racional negativo.

Recordemos que la radicación es la operación inversa de la potenciación y que consiste en hallar la base conociendo el exponente y la potencia.

Propiedades:

Ejemplos: teniendo en cuenta las propiedades de la radiación desarrollaremos los siguientes ejercicios:

1. ¿Por cuál número hay que multiplicar a, ½  cuando se convierte en  ¾? 

Sabemos que la división es la operación inversa de la multiplicación, y como  ¾ es el producto y  ½  uno de los factores, entonces:

 

Luego a  ½ hay que multiplicarlo por  3/2 para que se convierta en ¾.

2. ¿Por cuál número hay que  dividir a, 40  cuando se convierte en  3/7? 

40 es el dividendo y 3/7 el cociente. Para hallar el divisor realizamos la división entre el dividendo y el cociente. Luego:

 

Entonces a  40 hay que dividirlo por 280/3 para que se convierta en 3/7.

3. ¿Qué parte de una pieza de 60 m  es  72/5?

analizamos:

1  es  1/60  de 60, luego  72/5 será   72/5  veces mayor, es decir:

1/60  x  72/5  simplif. =  6/25

Luego  72/5 es los  6/25  de 60.

4. ¿Qué parte de  5/6  es  2/7?

Realizamos una división escribiendo  5/6 como divisor:

 

Luego  2/7 es los  12/35  de  5/6.

5. ¿Cuánto pierdo cuando vendo por los  3/7 del costo lo que me ha costado $84?

Para saber lo que  ha costado  debemos hallar los  3/7 del costo:

3/7 de 84  =  3/7  x  84/1   simplif. = 3 x12 /1  =  36.

Entonces si me ha costado  $84 y lo vendí por  $36, he perdido: 84 - 36 = $48