La obra de Platón ha llegado a nosotros casi en su totalidad, sus principales pasajes matemáticos están dispersos en sus diálogos y tratan aspectos tan variados como la teoría de los números, las figuras cósmicas, los fundamentos matemáticos y la axiomática. El Timeo contiene las ideas de Platón sobre los poliedros regulares.

Los números enteros resultan de extender los números naturales positivos a los negativos. Es decir la unión de los conjuntos de los números negativos con los números positivos, incluyendo el número cero.

Representación gráfica:  

De la representación de los números  Z en la recta numérica podemos concluir:

Para dos números  a  y  b:

      a  >  b, si  a  está a la derecha de b.

      a  <  b, si  a  está a la izquierda de b

      a  =  b,  si a y b   ocupan el mismo sitio en la recta numérica.

Expresado de otra forma, podemos decir que entre dos números negativos es mayor el que más se aproxime al número cero.

Ejemplo: -3  >  -5, porque  -3 se aproxima más al número cero, y está a la derecha de –5.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO

El valor absoluto de un número siempre es positivo o igual a cero y se escribe como /a/, donde  a  es un número entero, y lo definimos de la siguiente manera:

Suma de dos números positivos: para sumar dos números positivos, realizamos la suma aritmética de los valores absolutos de los números, y al resultado le anteponemos un signo positivo.

Suma de dos números negativos: para sumar dos números negativos, realizamos la suma aritmética de los valores absolutos de los números, y al resultado le anteponemos un signo negativo.

Recordemos que si  a < 0, entonces:  l -a l = a de tal forma que:

Suma de un número positivo y otro negativo: realizamos la diferencia  aritmética de los valores absolutos de los números, y al resultado obtenido se le antepone el signo del número mayor.

Cuando los números son  iguales pero de signos contrarios la suma es igual a cero.

Ejemplo:

                  5  +  4  =  9

                 -5  -  4  =  - 9

                  5  -  4  =   1

                 -5  +  4  =  -1

Del anterior ejemplo podemos concluir:

Cantidades con signos iguales  + o  - : sumamos las cantidades y anteponemos al resultado el mismo signo.

Cantidades con signos contrarios:  restamos las cantidades y anteponemos al resultado el signo de la cantidad mayor.       

CLAUSURATIVA: la suma de dos números enteros nos da como resultado otro número entero.

CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera el resultado.

ASOCIATIVA: para sumar varios números enteros se pueden asociar de diferentes formas sin que el resultado se altere.

MODULATIVA: el módulo en la suma o resta de enteros es el cero. Si a cualquier número  entero le adicionamos p restamos el número cero, el resultado no varía.

INVERTIVA: al sumar un número entero con su inverso aditivo u opuesto, nos da como resultado el número cero.

La sustracción de números enteros se realiza igual a la sustracción de números naturales, solamente se debe tener en cuenta que los números enteros pueden ser positivos o negativos, el minuendo puede ser mayor o menos que el sustraendo, y se puede definir en siguiente forma:

a  -  b  =  a  +  (-b).

Sustracción de números enteros positivos: para realizar la sustracción de dos números enteros positivos, al minuendo se adiciona el inverso aditivo del sustraendo.

Sustracción de enteros negativos: al minuendo se le adiciona el inverso aditivo del sustraendo, y al resultado se le coloca el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplo 2:

Hallar la diferencia entre los números  -35  y  -16:

(-35) - (-16) = (-35) + (+16) = -19.

Sustracción de números enteros de signos diferentes: al minuendo se le adiciona el inverso aditivo del sustraendo, y al resultado se le coloca el signo del sumando mayor.

Ejemplo 1:

Hallar la diferencia entre los números - 9  y  6:

(-9) - (+6) = (-9) + (-6) = - 15.

Ejemplo 2:

Hallar la diferencia entre los números 18  y  -7:

(+18) - (-7) = (+18) + (+7) =  +25.

Para multiplicar dos números enteros debemos tener en cuenta la ley de los signos, Y  posteriormente se operan las partes numéricas:

LEY DE LOS SIGNOS

Ejemplos:

                3 x 2 = 6,         4 x (-3) = -12,         -5 x 3 = -15,         (-4) x (-3) = 12.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

CLAUSURATIVA: al multiplicar dos números enteros, nos da como resultado otro número entero.

CONMUTATIVA: el orden de los factores no altera el producto.

MODULATIVA: el módulo de la multiplicación es el uno. Cualquier número entero  al ser multiplicado por el módulo, da como resultado el mismo número.

                    5  x  1  =  1  x  5  =  5

ASOCIATIVA: la forma como se agrupen los factores en la multiplicación de enteros, no altera el resultado final.

DISTRIBUTIVA: respecto a la suma y a la resta:

Recordemos que dividir es encontrar un factor, conociendo el producto de dos números y uno de ellos.

Ejemplo: dividir  40  entre 5

Para la división entre enteros  también se debe tener en cuenta la ley de los signos:

Para la potenciación de números enteros es importante tener en cuenta las siguientes consideraciones:

• Todo número entero negativo elevado a un exponente impar, nos da como resultado una potencia negativa.

• Todo número entero negativo elevado a un exponente par, nos da como resultado una potencia positiva.

• Todo número entero elevado al exponente cero es igual a uno.

La ley fundamental de la potenciación nos dice:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN EN ENTEROS

• Potencias de bases iguales:

• División de bases iguales: para la división debemos hacer varias consideraciones:

• Potencia de una potencia:

Ejercicios de aplicación

Hemos visto que la radiación es una operación inversa de la potenciación, ya que en ésta podemos encontrar la base, conociendo el valor del exponente y la potencia.

Ejemplo:  hallar Descomponemos el número  27 en sus factores primos:

Ejemplo:     veamos porque:

Ejemplo:  hallar   Al tratar de encontrar un número que multiplicado por sí mismo dos veces, de como resultado  -16, nos damos cuenta que es imposible encontrarlos. Luego si la base es negativa y el exponente del radical es par, la raíz no se puede solucionar en los números enteros.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Del anterior ejemplo podemos observar que la raíz de un producto puede resolverse de dos maneras:

1. Efectuando primero el producto indicado y luego extrayendo la raíz mientras sea posible.

2. Extrayendo la raíz de cada uno de los factores, teniendo en cuenta que no existe raíz par, de un entero negativo y luego multiplicando los resultados de las raíces.

RAÍZ DE UNA DIVISIÓN

Ejemplo:  hallar la raíz

Ejemplo:  hallar la raíz  

De otra forma:

Otros ejercicios de aplicación

Simplificar: