UNIDAD 2s
2.1 Límites
2.1.1 Objetivos
Identificar el concepto de límite dentro del campo geométrico, deducir las propiedades de los límites y definir los conceptos de continuidad y las propiedades de las funciones continuas. En esta unidad también se desarrollará el procedimiento para encontrar los límites laterales de una función dada, así como la forma de resolver las operaciones básicas y de funciones trigonométricas entre límites.
2.1.2 Introducción 
Analicemos la posible gráfica que generaría la función:
Uno de los grupos sería el conjunto de números que se aproximen a uno por la izquierda y el otro el conjunto de números que se aproximen por la derecha.
Para lo cual creamos una tabla de valores para los dos conjuntos de números:
Localicemos estos puntos en un plano cartesiano:
Al localizar los puntos correspondientes se observa que la gráfica de ¦ es una parábola con un hueco en el punto (1, 2).
Se puede concluir que aunque x no puede ser igual a 1 nos podemos acercar cuanto queramos a 1, y como resultado de este acercamiento ¦(x) se aproxima cada vez más a 2.
Utilizando la notación de límites se dice entonces que el límite de ¦(x) cuando x tiende a 1 es 2, y se denota como:
Que es la forma algebraica y más practica de resolver esta clase de límites. Ejemplo:
Desarrollar el ejercicio mediante una tabla de valores, como en el caso anterior, se debe llegar a la misma respuesta.
2.1.3 Definición
de límite
El límite de una función, se puede expresar mediante la norma de que sí ¦(x) se aproxima a un único número L cuando x se aproxima a c por ambos lados, decimos que el límite ¦(x) cuando x tiende a c es L, y se denota por la expresión:
Ejemplo:
Se ha visto anteriormente la forma algebraica de resolver límites de la cual se destacaba la manera sencilla de resolverlos, pues estos conceptos se pueden normalizar aplicando los siguientes pasos:
2.1.5 Límites de
funciones algebraicas
Para desarrollar algunos límites algebraicos se hace necesario tener en cuenta ciertos límites básicos que están sujetos a la condición. Sí b y c son números reales y n un entero positivo sí c = 0, entonces:
2.1.6 Propiedades
de las operaciones básicas entre límites
- Límite de un polinomio.
- · Límite de una función racional.
2.1.7 Límites con
radicales
Ejemplo:
2.1.8 Límites de
funciones trigonométricas
Igualmente para las funciones trigonométricas también se puede utilizar el cálculo por sustitución directa y si c es un número real, se tienen las propiedades para sus respectivos límites:
2.1.9 Límite de
funciones trigonométricas especiales
Ejemplos.
2.1.9.1 Límite
de la forma indeterminada 
Veamos:
2.1.9.2 Límite
infinito
Ejemplo:
2.1.9.3 Límite
al infinito y de forma 
Luego para una función f(x) racional:
Ejemplo:
2.1.9.4 Límite
de la forma indeterminada 
La manera de solucionar estos límites es convirtiendo la diferencia en una división por medio de los procedimientos del común denominador, factorizando algebraicamente o racionalizando, siendo este último el método más usado.
Ejemplo:
2.1.10 Continuidad
en un punto
Se puede afirmar que una función f(x) es continua en un punto (número a) sí cumple con las siguientes condiciones:
y similarmente sí una de las tres condiciones no es c diremos que la función f(x) es discontinua en el punto a.
Ejemplo:
Determinemos del dominio de la función:
Ahora como:
De esta manera g es continua en R
2.10.1 Asíntotas
verticales y horizontales
Y se dice que la recta x = c, es una asíntota horizontal de la curva y = f(x) si:
Veamos los anteriores conceptos mediante los siguientes ejemplos:
