6.1 Secciones cónicas
6.1.1 Objetivos
6.1.3 Sección cónica
Se puede definir como la intersección de un cono con las diferentes posiciones de un plano, o como sitios geométricos de puntos que cumplen propiedades geométricas específicas.
Los elementos básicos de las secciones cónicas se pueden resumir en los siguientes:
6.1.4 La circunferencia
6.1.4.1 Definición
La circunferencia se puede definir desde el punto de vista de lugar geométrico, que para el caso sería la unión de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro que puede coincidir con el punto (0, 0) de un plano de ejes coordenados.
Otra de las definiciones más comunes de circunferencia se enuncia como un lugar geométrico de los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. La distancia se llama radio de la circunferencia.
llevando el mismo concepto y aplicándolo para el caso particular de la circunferencia se tiene que:
De acuerdo a los datos obtenidos se realiza la gráfica:
6.1.4.4 Ecuación de la circunferencia con centro en un punto diferente al origen
La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante
r, tiene por ecuación:
Sea la figura:
6.1.4.5 Ecuación general de la circunferencia
Desarrollando la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia se tiene:
Ejemplo:
La ecuación de la circunferencia que se busca es de la forma general.
Donde se deben encontrar las constantes D, E y F:
Como los tres puntos pertenecen a la circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación que estamos buscando que como hemos dicho es de forma general. De acuerdo con lo anterior se pueden plantear tres ecuaciones que corresponden a cada uno de los puntos dados.
Para el punto (-1, 1) Se tiene la ecuación: 1 + 1 - D + E + F = 0
Para el punto (3, 5)
9 + 25 + 3D + 5E + F = 0
Para el punto (5, -3)
25 + 9 + 5D - 3E + F = 0
Resolviendo términos semejantes en cada una de las ecuaciones:
D - E - F = 2
3D + 5E + F = - 34
5D - 3E + F = - 34
Resolviendo este sistema de ecuaciones con tres incógnitas por medio de alguno de los métodos vistos en cursos anteriores se hallan los siguientes valores para las incógnitas:
6.1.4.6 Punto medio de una recta y su relación con la circunferencia
En la unidad anterior se demostró
que si:
Tomemos el punto (4, 3) y el centro
de la circunferencia (1, -1).
6.1.4.7 Traslación de los ejes
coordenados de la circunferencia
Para simplificar las ecuaciones mediante traslación de ejes coordenados es
preciso enunciar el siguiente teorema:
Sí se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O´(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema inicial al nuevo sistema de coordenadas son:
x = x´+ h
y = y´+ k
6.1.5 La parábola
6.1.5.1 Definición
Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma que su distancia a una recta fija situada en un plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
6.1.5.2 Puntos y líneas principales de la parábola
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la
parábola.
Designando por F y r el foco y la directriz de la parábola, respectivamente. La recta a que pasa por F y coincide con el eje de coordenadas x y es perpendicular a r se llama eje de la parábola.
Sea A el punto de intersección del eje y la directriz.
El punto V, punto medio del segmento AF y que está sobre la parábola se llama vértice.
El segmento de recta BB´ que une dos puntos cualesquiera de la parábola recibe el nombre de cuerda, y en particular una cuerda que pase por el foco de la parábola como CC´ se llama cuerda focal.
En la gráfica el segmento LL´ perpendicular al eje se llama lado recto de la parábola.
Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.
6.1.5.3 Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje x
Observemos la gráfica.
En la gráfica, la parábola tiene el vértice en el origen y su eje coincide con el eje de coordenadas x. Por consiguiente el foco F está sobre el eje x y sus coordenadas pueden corresponder a (p, o).
Por definición de la parábola, la ecuación de la directriz r es x = -p.
Si se tiene un punto P(x, y), punto cualquiera de la parábola, este punto por estar sobre la parábola satisface la condición geométrica:
d (PF) = d (PA) y aplicando la distancia entre dos puntos se tiene:
6.1.5.4 Otras formas de la ecuación de la parábola
En donde el foco es el punto (o, p) y la ecuación de la directriz es y = - p. Ahora bien sí p > 0, la parábola se abre hacia arriba; si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
En cada uno de los casos la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.
Las gráficas para estos casos serían:
6.1.5.5 Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h, k) y eje de simetría paralelo al eje x o y.
La ecuación de la parábola con vértice en el origen del plano x´, y´ y eje
de simetría paralelo al eje x será.
Ejemplo:
Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coinciden con el eje y pasa por el punto (4, -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.
6.1.6 La elipse
6.1.6.1 Definición
6.1.6.2 Conceptos generales
6.1.6.4 Ecuación de la elipse de centro O´(h, k)
Cuando se presenta que el centro de la elipse tiene de coordenadas los puntos
(h, k) el eje mayor puede estar paralelo al eje x o al eje y. Para deducir
las respectivas fórmulas se utilizan las expresiones obtenidas para traslación
de ejes.
Para cada no de los casos se tiene:
6.1.7 La hipérbola
6.1.7.1 Definición
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano
de tal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante
positiva y menor que la distancia entre los focos.
6.1.7.2 Líneas y puntos principales de la hipérbola
Consideremos la hipérbola con la particularidad de que el centro coincide con el origen y cuyo eje focal es el mismo eje de coordenadas x.
Los focos F y F´ están sobre el mismo eje x. De esta manera el punto medio del segmento F F´ y cuyas coordenadas vienen dadas por los puntos (c, o) y (-c, o) respectivamente, siendo c una constante positiva.
Localizando un punto P(x, y) cualquiera en la hipérbola, se tiene que el punto debe satisfacer la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante.
6.1.7.4 Excentricidad, longitud del lado recto y eje transverso de la hipérbola
Generalmente se debe analizar que ocurre en la ecuación de la hipérbola sí un punto se desplaza a lo largo de la curva, de tal forma que el valor numérico de la abscisa x aumente sin límite, probablemente sucede que el radical del segundo miembro se aproxima cada vez más a la unidad, y la ecuación tiende a la forma:
6.1.7.6 Ecuación de la hipérbola
con centro diferente al origen
Si el centro de la hipérbola no está en el origen, es decir en el punto (h,
k), y sus ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, se pueden hallar las
ecuaciones respectivas utilizando las fórmulas halladas para la traslación
de ejes vistos en el desarrollo de la elipse.
Entonces se tendrá:
