Matemáticas 10° unidad 5

5.1 Estudio de la línea recta

5.1.1 Objetivo

Con el estudio de la línea recta se busca adquirir destreza en la aplicación de las fórmulas de la distancia entre dos puntos y punto medio, al igual que analizar los diferentes tipos de ecuaciones que se derivan de una línea recta.

Una de las partes más importantes de la geometría es el estudio de la línea recta y el lugar geométrico que representa. Entendiendo por lugar geométrico la gráfica que une dos valores mediante el planteamiento de una ecuación. La gráfica puede ser una recta o una curva con la característica de que todos los puntos que estén ubicados sobre la línea satisfagan la ecuación dada.

5.1.2 Distancia entre dos puntos

Específicamente nos referiremos al estudio de la distancia entre dos puntos ubicados en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano de coordenadas.

Veamos la siguiente figura:

Sobre la recta A localizamos dos puntos P1 y P2 con sus respectivas coordenadas sobre el eje x y el eje y. Se trata de hallar la distancia (d) entre los puntos P1 y P2. Para lo cual se utiliza el teorema de Pitágoras.

Observemos, que el valor de cada uno de los catetos de triángulo rectángulo que se ha formado es posible hallarlos realizando la diferencia entre las distancias respectivas. Para nuestra gráfica, la distancia d, representa la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras para hallar el valor de la distancia, se tiene:

Siendo ésta la fórmula entre dos puntos cualesquiera en un plano coordenado.

5.1.4 Pendiente de la línea recta

La pendiente de una línea recta, es el grado de inclinación de la recta respecto al eje x del plano cartesiano.

Analicemos la siguiente gráfica:

Teniendo en cuenta los conceptos de pendiente, se enuncian las siguientes consideraciones:

Ahora ampliemos un poco el concepto de pendiente. Hemos expresado en capítulos anteriores que la ecuación general de una línea recta está dada por:

Y = m x + b

Donde:

m = pendiente de la recta.

b = término independiente o punto donde la recta corta al eje y.

Así por ejemplo, en una ecuación que viene dada por la fórmula y = 4x - 2, se puede destacar que el valor de la pendiente es igual a 4, y que el punto por donde la recta corta el eje de coordenadas y es -2. Realizando la gráfica de la recta podemos demostrar esto fácilmente.

Para realizar la gráfica correspondiente es preciso que a partir de la ecuación se le den valores arbitrarios a la variable independiente x, para hallar los valores de la variable dependiente y.

Elaboremos la tabla de valores

5.1.5 Ecuación punto - pendiente

Como su nombre lo indica la fórmula para la ecuación punto pendiente nos relaciona un punto de la recta que satisface la ecuación y la pendiente de la misma.

Sea la figura:

2. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

P (-5, 2) y Q (3, 4)

Para deducir la ecuación de la recta de la forma y = m x + b, se debe encontrar los valores de m y b:

Observemos, que para hallar el valor de b, se puede tomar los datos de cualquiera de los dos puntos P o Q por ser puntos que están localizados sobre la misma recta.

La ecuación de la recta buscada será:

Otra de las formas que hay para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos es aplicar directamente la fórmula:

5.1.6 Recta paralela al eje x

Si una recta es paralela al eje x, quiere decir que todos los puntos tienen la misma ordenada. Esto es que para todos los puntos de coordenada x, siempre le van a corresponder un mismo valor de y.

Cuando se presenta este caso se puede deducir que la recta al ser paralela al eje x, no tiene ángulo de inclinación y por consiguiente su pendiente m = 0 y la fórmula estará dada por la expresión:

5.1.7 Recta paralela al eje y

Si una recta es paralela al eje y, quiere decir que todos los puntos tienen la misma abscisa. Esto es que para todos los puntos de coordenada y, siempre le van a corresponder un mismo valor de x.

Sí se tiene un punto de la recta P (a, y), siendo a el punto constante de la recta, entonces se cumple que x = a, y la ecuación para la recta se convierte en:

x - a = 0

5.1.8 Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.