4.1 Introducción al álgebra lineal
4.1.1 Objetivo
En esta unidad se afianzarán los conceptos de vector y sus operaciones, al igual que las diferencias entre cantidad o magnitud escalar y vectorial. Se reconocerá los términos de magnitud, dirección y sentido de un vector, así como sus componentes en un plano de coordenadas.
Es bueno recordar los conceptos de magnitud escalar y vectorial para determinar las diferencias más importantes entre las dos.
4.1.2 Magnitudes escalares
Son aquellas cantidades que para considerarlas completamente determinadas, solo basta con conocer su magnitud, es decir su medida teniendo en cuenta un patrón o medida conveniente.
Ejemplo:
La edad de Juan es el doble de la edad de Pedro. Si ambas edades suman 60 años, hallar ambas edades.
En el ejemplo se observa que lo que interesa es la edad de Pedro y Juan, y no si Juan es alto o Pedro es trigueño. El problema queda determinado cuando se hallan los años de edad que tiene cada uno.
Hasta el momento se han estudiado principalmente las cantidades escalares, dedicándonos ahora al estudio de las cantidades vectoriales.
4.1.3 Cantidades vectoriales
A diferencia de las magnitudes escalares las vectoriales para ser bien definidas a parte de especificar la magnitud se deben determinar la dirección y el sentido en el espacio.
Ejemplos de magnitudes vectoriales se tienen: la fuerza, la presión, la velocidad, la aceleración, etc.
Específicamente un vector en el
plano se considera a un segmento dirigido que tiene una longitud
que es igual al valor de la magnitud, una dirección y un sentido.
La dirección de un vector la determina el ángulo que el segmento forme con la horizontal del plano cartesiano, y el sentido lo indica la flecha.
4.1.4 Operaciones con vectores
Al igual que con otros conjuntos de números, con las cantidades vectoriales se pueden desarrollar ciertas operaciones básicas. Veamos algunas de ellas:
4.1.4.1 Suma de vectores
Inicialmente dos vectores se consideran iguales si tienen el mismo valor (magnitud) y la misma dirección y sentido.
Ahora, sí los vectores tienen la misma dirección y sentido, el vector resultante R será la suma de las magnitudes o valores de los vectores. Sí poseen la misma dirección pero sentido contrario el valor del vector resultante R para este caso será igual a la diferencia de las magnitudes o valores de los vectores.
Se consideran vectores positivos los que están dirigidos hacia la derecha y hacia arriba, es decir sobre los ejes de coordenadas positivos y negativos los dirigidos hacia la izquierda y hacia abajo.
Básicamente se distinguen dos métodos para sumar vectores:
4.1.4.2 Método gráfico
Ejemplo:
Hallar la suma entre los vectores A y B de la figura.
Observemos que para realizar la suma de los dos vectores basta con colocar el vector A en su posición inicial, luego la cola del vector B la colocamos en la punta del vector A conservando la magnitud, la dirección y el sentido de los vectores. Para hallar el vector resultante, se une la cola de vector A con la punta del vector B, denotando este nuevo vector con la letra R.
Al hacer la suma entre los dos vectores, forman un triángulo rectángulo por ser perpendiculares entre ambos, lo que da lugar a que para hallar el valor de la resultante R se pueda utilizar el teorema de Pitágoras:
Estos conceptos son aplicables para sumar más de dos vectores.
4.1.4.3 Resta de vectores
Para hallar la diferencia entre dos vectores A - B, se suma al vector minuendo (primer vector), el vector opuesto del vector sustraendo (segundo vector), genéricamente sería:
A - B = A + (-B)
Gráficamente:
4.1.4.4 Producto de un vector por un escalar
Multiplicar un vector por un escalar, es duplicar, triplicar, etc. dicho vector, para lo cual se deben tener en cuenta ciertas consideraciones:
4.1.4.5 Representación analítica de vectores
Para realizar la representación analítica de vectores, retomemos el ejemplo:
4.1.4.6 Representación analítica de la suma de vectores
La representación analítica de la suma de dos o más vectores se desarrolla al utilizar las componentes sobre los ejes de coordenadas x y y, de cada uno de los vectores que se van a sumar.
Ejemplo:
Dado los vectores AB = (4, 5), AC = (-4, 3), AD = (6, -4).
Hallar la suma de los tres vectores y representar dicha suma gráficamente.
El vector AB (4, 5), significa que el vector AB tiene una componente sobre el eje x, igual a 4 unidades y sobre el eje y, igual a 5 unidades.
El vector AC (-4, 3), significa que el vector AC tiene una componente sobre el eje x, igual a -4 unidades y sobre el eje y, igual a 3 unidades.
El vector AD (6, -4), significa que el vector AB tiene una componente sobre el eje x, igual a 6 unidades y sobre el eje y, igual a -4 unidades.
Si se halla la suma de las componentes en x, y la suma de las componentes en el eje y, se puede calcular el valor de la resultante aplicando el teorema de Pitágoras.
