2.1 Funciones trigonométricas
2.1.1 Objetivos ·
Identificar y calcular de forma correcta las funciones trigonométricas básicas, así como desarrollar estas funciones en ángulos, expresados en radianes y en grados.
Aplicar las funciones trigonométricas, como herramienta en la resolución de triángulos rectángulos o cualquier triángulo.
Analizar y reducir de forma correcta los ángulos, de un cuadrante a otro. Particularmente en la reducción al primer cuadrante.
2.1.2 Conceptos generales
Las funciones trigonométricas resultan básicamente de realizar divisiones entre los lados de un triángulo. Su aplicación se extiende a parte de las ramas de las matemáticas, al estudio de muchos conceptos básicos de la física.
Para una mejor comprensión del tema, analicemos la siguiente gráfica:
El lado que se encuentra al frente del ángulo recto, en cualquier triángulo rectángulo recibe el nombre de hipotenusa, que en la gráfica la hemos señalado con la letra r.
Por el teorema de Pitágoras se puede hallar el valor de r, entonces:
De igual manera como se han encontrado los valores de estas dos funciones, por semejanza de triángulos se puede hallar otras proporciones y denominarlas con diferentes nombres, que en conjunto son las que llamamos funciones trigonométricas.
En función del triángulo rectángulo se definen las funciones trigonométricas así:
Ejemplo:
Sea el triángulo de la figura:
Entonces:
2.2.1 Funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°.
Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, tomaremos como base un triángulo equilátero.
Observemos que al dividir el triángulo equilátero en dos partes, resultan dos triángulos rectángulos. Tomemos uno de ellos:
Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, se hace necesario encontrar el valor de la altura del triángulo. Este valor se halla por medio del teorema e Pitágoras:
Teniendo los datos del triángulo completos, se hallan las funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos:
De igual manera se procede para el ángulo de 30°, y se tendrá:
De lo anterior se puede establecer una serie de relaciones entre los dos ángulos:
2.2.2 Funciones trigonométricas para el ángulo de 45°
Para encontrar las funciones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un cuadrado como referencia:
Si al cuadrado de la figura se le traza una diagonal, el cuadrado queda dividido en dos triángulos rectángulos donde se conocen los valores de los catetos (L), y se desconoce el valor de la hipotenusa (x). Este valor al igual que en el caso anterior, se halla por medio del teorema de Pitágoras:
Con el anterior valor se completan los datos de la figura:
De esta manera hallamos las funciones trigonométricas para el ángulo de 45°.
Resumiendo en un cuadro general todas las funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60° se tiene:
2.2.3 Ejemplos de aplicación 1.
1. Calcular Sen 60° Csc 60° + Tg 45°.
Se reemplazan los valores encontrados para los ángulos:
2.4 Reducción de ángulos del segundo ( II ) cuadrante
Para una mejor explicación, observemos la siguiente figura:
2.5 Reducción de ángulos del tercer ( III ) cuadrante
Para los ángulos ubicados en el tercer cuadrante se tiene:
2.6 Reducción de ángulos del cuarto (IV) cuadrante
El ángulo referencia para el cuarto cuadrante será 360°.
2.7 Reducción de funciones de ángulos negativos
Los ángulos negativos presentan relaciones con su respectivo ángulo positivo en los cuadrantes I y IV, o también en el II y III cuadrantes
2.9 Aplicaciones de las funciones trigonométricas
La solución de problemas en los que los términos o datos son longitudes y ángulos , se desarrollan utilizando las funciones trigonométricas.
La mayor aplicación va dirigida a la resolución de triángulos rectángulos u oblicuángulos. Para los primeros se utilizarán conceptos ya definidos, y para los segundos anexaremos a los ya estudiados otros teoremas que son de gran importancia.
2.9.1 Resolución de triángulos rectángulos.
Por geometría se sabe que todo triángulo posee tres lados y tres ángulos, y para efectos de la resolución de triángulos, se puede decir que este se encuentra resuelto cuando se encuentran los valores de los seis términos.
2. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa vale 25 unidades y un cateto es 5 unidades mayor que el otro. Hallar las funciones trigonométricas Sen, Cos y Tg, del ángulo opuesto al cateto menor.
Igualmente se realiza la gráfica del problema.
2.9.2 Resolución de triángulos oblicuángulos
Para la solución de triángulos oblicuángulos, se hace necesario desarrollar algunos teoremas particulares de los cuales nos ocuparemos ahora:
2.9.2.1 Teorema del seno
Antes de entrar a demostrar el teorema del seno, es preciso recordar dos de las propiedades aplicables a todos los triángulos:
· La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°.
· En todo triángulo el lado mayor se opone al ángulo mayor y viceversa.
El teorema del seno expresa que en todo triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Veamos:
2.9.2.2 Teorema del coseno
El teorema del coseno nos plantea que para todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de ellas por el coseno del ángulo que forman dichos lados.
Para demostrar este enunciado, tomemos el siguiente triángulo:
Ejemplos:
1. Dos personas A y B, se encuentran a una distancia de 200 metros una de la otra. Cuando un avión pasa por el plano vertical de las mencionadas personas, éstas lo ven simultáneamente con ángulos de elevación de 40° y 53°, respectivamente. Calcula la altura del avión en ese momento.
Completando el valor de los ángulos que hacen falta, se tiene:
Con los datos del problema, aplicamos el teorema del seno para hallar el valor del lado a:
Con el valor del lado a, se puede hallar el valor de h, relacionándolo por medio de Sen B:
2. Un topógrafo situado en un punto C, sitúa dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Sí el punto C está a 10 Km de A y a 15 Km de B y además el ángulo C mida 40°. Calcula el ancho del lago.
Calcular el ancho del lago, es calcular la longitud del lado c de la gráfica. Luego entonces:
