3. Vectores y escalares

Gran parte del trabajo que se realiza en física, utiliza un análisis vectorial o escalar. Se considera como cantidad escalar aquellas que para ser expresadas o definidas completamente únicamente se necesita de un número, que por lo general se acompaña de una unidad de medida como pueden ser la masa de un cuerpo, el área, la temperatura, el tiempo, la energía, la rapidez.

Otro tipo de cantidades son las vectoriales, las cuales para ser definidas se necesita de un número acompañado de una unidad, la dirección y el sentido en el cual se aplica, por ejemplo: una fuerza, la velocidad, la aceleración.

· La punta de la flecha indica el sentido del vector.

· El ángulo que forma con el eje equis, indica la dirección.

· La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector.

· La unidad acompaña a la magnitud.

· Una forma de expresar el sentido y la dirección se hace por medio del sistema de orientación.

Veamos el vector A ubicado el plano cartesiano.
La forma de escribir un vector es con una letra mayúscula resaltada con negrita como generalmente aparece en los libros (R, F, A etc.) o con una flecha en la parte superior (R, F, A etc.)

3.1. Generalidades de los vectores

De tal manera, que en los tres vectores anteriores tenemos que:

J igual a A

J opuesto a M

A opuesto a M

Dos o más vectores se consideran paralelos, cuando la distancia que los separa es constante sin importar el sentido o magnitud que tengan.

3.2. Suma de vectores

3.2.1. Método gráfico

Para realizar la suma de dos o más vectores gráficamente, se debe ubicar un vector haciendo coincidir la cola con el origen del sistema coordenado, conservando la misma dirección y magnitud, luego se traslada el siguiente vector, de tal manera que la cola de esta se ubique al final de la fecha del primer vector y así sucesivamente con los vectores a sumar (tanto la dirección, sentido y magnitud de los vectores no deben variar).

Luego, se une por medio de una flecha el origen coordenado con la punta del ultimo vector sumado, Él cual se conoce con el nombre de vector resultante o vector suma.

3.2.2. Método analítico

Para sumar vectores por medio del análisis matemático, se suman directamente las magnitudes, esto si son paralelos y de igual sentido.

Ejemplos:

a) Dados los vectores

A = 4 m/s en sentido x y el vector C = 6 m/s en sentido de x, calcular la suma de los vectores A y C.

Solución: Como A y C tienen igual sentido, A + C = 4 + 6 = 10 m/s en sentido de x.

b) Dados los vectores A = 4 m/s en sentido - x y el vector C = 6 m/s en sentido de x, calcular la suma A + C.

Solución: Como A y C tienen diferente sentido, A + C = -4 + 6 = 2 m/s en sentido de x.

Si su dirección y sentido son diferente, debemos definir las componentes del vector, consideremos un vector J, cuya parte inicial coincide con el origen y forma un ángulo q con el eje equis positivo.

Si unimos por medio de un línea perpendicular cada eje, desde el final del vector se forma un triángulo ABC en donde el lado AB será la componente en x Jx del vector, y el lado BC será la componente en y Jy del vector.
Analizando la anterior gráfica y aplicando la definición de las funciones trigonométricas se obtiene: Se tiene que:
Otra expresión útil, para encontrar la magnitud del vector J se obtiene a partir de la aplicación del teorema de Pitagoras al triángulo de la anterior gráfica:

Las barras de la J representan que es la magnitud del vector J.

Una vez obtenidas las componentes de los vectores a sumar, se debe sumar todas las componente en x, y luego todas las componentes en y de los vectores, éstos resultados son las componentes del vector resultante.

Para obtener la magnitud de este vector se debe aplicar el Teorema de Pitágoras (3.4) teniendo como catetos las componentes del vector resultante.

La dirección del vector resultante se encuentra aplicando la expresión (3.3).

Como ejercicio hallemos las componentes de los vectores A, B y C, utilizados en el ejercicio de suma por el método gráfico, y luego calculemos los valores de las magnitudes de los vectores suma resueltos gráficamente.

Calculemos las componentes para al vector A, aplicando las expresiones 3.1 y 3.2.
Ahora, calculemos las componentes para al vector B y C, siguiendo el mismo procedimiento.
Ahora, sumaremos las componentes de los vectores correspondientes a cada operación, y luego aplicaremos la ecuación 3.4, para calcular la magnitud del respectivo vector suma.

Realizar

a) A + B

b) A + B + C

Luego, el vector suma tendrá la componentes -7.78 m en el eje x, y 23.45 m en el eje y. Y su magnitud será:
Y el sentido del vector resultante esta dada por la ecuación (3.3):
Que para nuestro caso queda:
Pero este ángulo se mide desde el eje x negativo en sentido de las manecillas del reloj.
Luego, el vector suma tendrá la componentes -14.2 m en el eje x, y 15.79 m en el eje y. Y su magnitud será:
Y el sentido del vector resultante esta dado por la ecuación (3.3):
Que para nuestro caso queda
Hagamos un último ejemplo
Primero calculemos las componentes de cada vector:
Para el vector A:
Ahora, sumamos las componentes en x y en y:
Aplicando la expresión (3.4) con los datos anterior mente obtenidos se encuentra la magnitud. del vector.
Y por último, encontramos la dirección del vector, para lo cual utilizamos la expresión 3.3:

Ejemplo analítico

Una forma de evidenciar la suma de vectores, es imaginarse una caja a la cual se aplican dos fuerzas F1 y F2 de igual magnitud una hacia el norte, y otra hacia el este respectivamente.

Obviamente, la caja se moverá en dirección noreste. Para hacer un análisis más formal se deben sumar los vectores fuerza utilizando el método gráfico explicado anteriormente.
La flecha roja indica la dirección en que se moverá la caja: Consideremos ahora que F2 , se aplica en sentido sur, con los siguientes parámetros. En cada uno de ellos la flecha roja indica el sentido del movimiento.

3.3. Resta

Para restar vectores, se le cambia el sentido al vector a restar sin variar la magnitud ni dirección. Es decir, si un vector M inicialmente se encuentra hacia el norte el vector - M se encontrará hacia el sur. Esto se puede explicar matemáticamente al utilizar el hecho de producto de signos. Luego el vector - M es igual a + (- M)

3.3.1. Método analítico

Para hacer un análisis formal de la resta de vectores, se debe primero encontrar las componentes del los vectores, y luego se restan, es importante tener en cuenta quien se resta a quien (distinguir minuendo y sustrayendo).

Pues como ya se vio en el método gráfico, la resta no es conmutativa. De igual manera a lo realizado en la suma, se pueden hallar tanto magnitud como dirección del vector resta resultante. Resolvamos el ejemplo utilizado en la suma, pero esta vez utilicemos la operación de la resta.

Dados los vectores A igual a 10m y forma un ángulo de 45° y el vector B igual a 24m y forma un ángulo de 30°.

Hallar la magnitud y dirección del vector resta resultante R = A - B Primero calculemos las componentes de cada vector:

Aplicando la ecuación (3.4) con los datos obtenidos se encuentra la magnitud.

Y por último encontramos la dirección del vector resta, para lo cual utilizamos la expresión (3.3)

 

Aplicando la ecuación (3.4) con los datos obtenidos se encuentra la magnitud.

Y por último encontramos la dirección del vector resta, para lo cual utilizamos la expresión (3.3)